Pohádka O Dteterminantu

Bylo, nebylo ...

Za devatero bázemi a devatero souřadnicemi na jednom lineárním prostoru vládla zlá matice. Byla zlá, nesnášenlivá a povýšená (to proto, že měla velkou hodnost) a velmi si zakládala na své singularitě. Na jejím beta-okolí s ní žila krásná Norma. Matice měla kouzelná skripta, která znala odpověď na všechny otázky.

Jednoho dne se jich matice zeptala: "Skripta, skripta, řekněte mi, kdo je na celém lineárním prostoru nejsamoadjungovanější?"

"Matematicky je to sice blbost," řekla skripta, "ale nejsamoadjungovanější je krásná Norma, která žije na tvém beta-okolí."

Tu se matice velmi rozlítila, i zavolala k sobě svůj Jordanův tvar a přikázala mu: "Odvedeš Normu z mého beta-okolí do hlubokého lesa mezi polynomy a předhodíš ji tam dravým derivacím."

I uposlechl ji a v noci odvedl Normu až na samý kraj lineárního prostoru, kde ji nechal krutému osudu. Norma plakala, když ji tam tak opustil, a šla lesem, bloudila mezi polynomy, zakopávala o jejich kořeny a koeficienty ji šlehaly do tváře.

A polynomy vidíc její žal zvučely nocí v operním sboru: "Matice zlá, matice zlá."

A tak Norma šla, až došla na mýtinu. Některé polynomy tu byly vykácené, a na jejich místech zůstaly velké absolutní členy. A mezi nimi stála malá množina. Norma šla dovnitř, ale nikoho tam nenašla. A protože byla unavená, lehla si tam do hranatých závorek a usnula.

Když se Norma ráno probudila, zjistila, že se nad ní sklání 7 determinantů. Vylekala se, ale jeden z nich ji uklidnil: "Nic se nebol krásná Normo. Víme, kdo jsi, i že tě zlá matice vyhnala do lesa mezi zlé derivace. Máš štěstí, žes sem přišla. Pro líté derivace v doplňku naší množiny by nebylo žádným problémem zderivovat takovou křehkou konstantu, jako jsi ty. Ale tady jsi v bezpečí a můžeš s námi v naší množině zůstat, jak dlouho budeš chtít."

Pak se jí determinanty představily. Bylo to 7 minorů, kteří náležely jedné dobré matici, a tak u nich Norma zůstala.

Uplynulo několik period. Determinanty chodily každou periodu do dalekých diferenciálních rovnic těžit partikulární řešení a Norma se jim zatím starala o množinu. A popadla matici znovu ješitnost, a zase se ptala svých kouzelných skript, kdo že je na celém definičním oboru nejsamoadjungovanější.

A skripta odpověděla: "Jako i před několika periodami až dodnes je nejsamoadjungovanější krásná Norma, kterou jsi nechala vyhnat ze svého beta-okolí."

I rozlítila se matice a rozhodla se, že tentokrát se o Normu postará sama. Proto se hermitovsky transponovala a jednoho dne, kdy determinanty odešly do diferenciálních rovnic těžit partikulární řešení, přišla v podobě důvěryhodné jednotkové matice k jejich množině a zaklepala na supremum.

Norma vyhlédla ven a řekla si: "Nějaká jednotková matice klepe na supremum. Co se může stát? Při nejhorším ji přetáhnu nějakým sloupcem řešení a bude klid."

A tak otevřela. Otevřená množina ovšem ponechávala matici volnou působnost. Proto se rychle transponovala zpátky do své hrozivé podoby, a než mohla Norma cokoli dělat, vypustila na ni derivace. Ty se na ni vrhly, a když se od ní po několika chvílích vzdálily, ležela na horní mezi množiny jenom nehybná nula. Matice odešla a nechala ji osudu.

Na sklonku periody se determinanty vrátily z rovnic domů. Když viděly u množiny ležet nulu, začali naříkat: "Proč jsme se o ni lépe nestaraly," bědovaly a lomily diagonálami.

Uložily ji do malé podmnožiny a nechaly ji tak. Uplynulo mnoho period, když jednoho dne přijel k množině mladý Integrál. Determinanty mu vyšly vstříc a on se jich ptal: "Poraďte mi moudří minoři, hledám tu, která je na celém lineárním prostoru nejsamoadjungovanější. Znáte takovou?"

"Ano známe. Žila tu s námi, ale zlá matice ji vyhnala ze svého beta-okolí a pak ji nechala zderivovat. Teď leží tady v té podmnožině."

"Nechte mne, ať se na ni podívám," prosil Integrál.

Determinanty mu to tedy umožnily. Integrál vešel do podmnožiny a uviděl tam ležet nulu. I v tomto nulovém tvaru byla okouzlující, až se Integrálu tajily meze.

"Je krásná," řekl. "Musím ji zachránit."

A pustil se do integrace. Když byl hotov, zjistil, že mu vyšla integrační konstanta, kterou bylo třeba zvolit.

A tak se zeptal minorů: "Nemáte tady někde její identické zobrazení?"

"I máme," řekl nejstarší z determinantů, sáhl do kapsy a podal mu fotografii. Podle ní Integrál zvolil integrační konstantu. A v tom Norma vyskočila a byla zase zdravá a ještě samoadjungovanější než kdysi.

Integrál i determinanty se zaradovaly, zlomky pily a dobré mocniny spolu měly. No a potom se Norma s Integrálem nechali převést na normovaný tvar, minoři jim jako svatební dar daly spoustu partikulárních řešení, a jestli je někdo nezderivoval, tak tam konvergují podnes.

Poznámka: Matematické zákony uvedené v tomto textu neodpovídají skutečnosti a jakákoli podobnost se stávajícími větami a definicemi je čistě neúmyslná a náhodná.